Devoir Maison - Suites numériques

Exercice 1 Résoudre les inéquations suivantes :

$(x^2 + 2 x - 2)(3 x + 6) \geq 0$

$\frac{3 x + 1}{4 - x}\leq 0$

Exercice 2 Etudier les variations de la fonction

$f (x) = \frac{2}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 - 3 x -3$

Exercice 3 On considère une feuille de papier avec une grande longueur de 30 cm. L'épaisseur de la feuille est de 110 micromètres (1000µm = 1mm).
On réalise une expérience : nous allons plier en deux la feuille jusqu'à ce que ça ne soit plus possible. À chaque pliage on a une feuille plus petite, avec une grande longueur divisée par deux.

1 On note

$(u_n)$ la suite des longueurs obtenues à chaque pliage.

a Quel est le type de cette suite

$(u_n)$ ?

b Exprimer

$u_n$ en fonction de

$n$

c Calculer les premières valeurs

$(u_0, u_1, u_2, u_3)$ .

2 On note

$(v_n)$ la suite des épaisseurs obtenues à chaque pliage.

a Quel est le type de cette suite ?

b Exprimer

$v_n$ en fonction de

$n$

c Calculer les première valeurs

$(v_0, v_1, v_2, v_3)$ .

3 Trouver le premier N pour lequel

$u_N \lt v_N$ (faites attention aux unités !)

4 Quand la longueur de la feuille devient plus petite que l'épaisseur, il devient impossible de la plier. Est-il possible de plier cette feuille plus de 8 fois ?

Exercice 4

Dans une réserve africaine les observateurs en place ont constaté que la population d’animaux d’une espèce donnée est en baisse de 10% tous les ans depuis plusieurs années. Actuellement, en 2014, cette population a été évaluée à 500 animaux.

On fait l’hypothèse que cette tendance va se poursuivre dans les années à venir.

On s'intéresse à l’évolution de la population d'animaux à partir de 2014. La situation peut être modélisée par une suite $(u_n)$ , le terme un donnant une estimation du nombre d’animaux dans la réserve l’année $2014 + n$ .

1 Calculer

$u_1$

2 On cherche à étudier la suite

$u_n$ :

a Justifier que la suite

$u_n$ est une suite géométrique. Déterminer sa raison et son premier terme.

b Exprimer

$u_{n+1}$ en fonction de

$u_n$

c Exprimer

$u_n$ en fonction de

$n$

3 On considère l'algorithme ci-dessous :

Variables : P un réel, N un entier Traitement : Affecter à N la valeur 0
Affecter à P la valeur ......
Tant que P > .....
Affecter à P la valeur P * ........
Affecter à N la valeur .......
Fin Tant que
Afficher N

L'algorithme est supposé afficher la valeur du premier

$n$ tel que le nombre d'individus

$u_n$ est inférieur à 10.

a Que représentent les variables P et N ?

b Compléter l'algorithme pour qu'il effectue correctement cette tâche

c A partir de quelle année, la population d'animaux risque-t-elle de descendre sous les 10 individus ?

4 On considère la population éteinte si le nombre d'individus est inférieur à 1.

a Modifier l'algorithme pour qu'il prédise l'année de l'extinction.

b Quelle est cette année ?